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Funciones periódicas

 

 

Introducción: como convertir una recta en una sinusoide.

Toma una hoja de papel transparente rectangular y dibuja una de sus diagonales.

Ahora, enrolla la hoja sobre sí misma formando un cilindro. Pega los bordes extremos y colócala en la mesa sobre un fondo blanco. La figura que ves sobre el fondo blanco, al mirar de frente lo que antes era una recta, es una sinusoide.

Una sinusoide es el nombre de la representación gráfica de la función f: f(x)= sen(x).  Es una función periódica.

Vivimos en un mundo de ondas.
La importancia de las ondas y de las funciones periódicas se ha ido poniendo de manifiesto mas claramente a medida que el hombre ha ido descubriendo como su universo esta lleno de ondas y vibraciones, tanto al mirar a lo lejos, a las galaxias, como al explorar lo muy cercano, el interior de los atomos.
La luz, el sonido, la electricidad, el electromagnetismo, los rayos X, son fenomenos ondulatorios que permiten un analisis matematico semejante al de la cuerda vibrante con la que todo empezo, a comienzos del siglo XVII, cuando Brook Taylor se propuso el problema de analizar matemáticamente el movimiento de una cuerda de guitarra. Y para eso utilizó las funciones seno y coseno, periódicas como el movimiento de la cuerda de guitarra.

El hombre a aprendido a utilizar el analisis matematico de los movimientos periódicos de mil formas distintas. La radio, el radar, el sonar, el microscopio electronico, los mas modernos instrumentos de exploracion del cuerpo humano como la resonancia magnetica, los celulares, son , en gran parte , consecuencia de este estudio matematico y fisico.

¿Qué será una función periódica?  Es una función cuya representación gráfica se repite a intervalos regulares. Esta propiedad las hace muy útiles para entender la multitud de fenómenos periódicos que se dan en nuestro mundo. el día, la noche, las olas del mar, los látidos del corazón, el movimiento de la cuerda en una guitarra, todos ellos son ejemplos de fenómenos periódicos. Su estudio matemático se hizo posible gracias al uso de las funciones seno y coseno.  Empecemos a tratar de responder la pregunta:

¿Qué es una función periódica?

Si ahora son las 16 hs, en punto, ¿ que hora será dentro de 24 hs ? ¿Y que hora será dentro de 48 hs?  ¿Y que hora será dentro de cualquier múltiplo de 24 hs?    El ciclo en este caso es de 24 horas.  En estos ejemplos supondremos que la hora la contamos de 0 a 24 hs  y no de 0 a 12 hs.

La función "que hora es" es una función periódica, cuyo período es de 24 hs. ¿Cómo será la representación gráfica de la función "que hora es" ?  Vamos a investigar.

Trata de hacer la gráfica tomando un intervalo de tiempo de 60 horas. En el eje de las abscisas ubicamos el tiempo, y en las ordenadas, h(t) , que es la función del tiempo "que hora es (t)". La podemos abreviar llamándola h(t). Podemos tomar el tiempo inicial como una hora cualquiera, por ejemplo las 10:00.

h(0) = 10 Es la hora inicial.

Dentro de una hora serán las 11 hs. En lenguaje matemático, h( 1) = 11.

Dentro de 8 horas serán las 18 hs.  En lenguaje matemático,   h(8) = 18 

Dentro de 24 hs serán de nuevo las 10 hs:       h(24) = 10 

Dentro de 2 días, o sea, 48 horas, serán otra vez las 10hs.      h(48) = 10

Esta función es periódica porque en t=0, 24, 48, ...... tiene "el mismo valor".

Vamos a verificar si estos puntos están bien colocados. Haz click.

Si ya has terminado la expresión analítica de la función h(x), esto es, lo que comunmente llamamos la "fórmula" de h(x), podremos saber entonces:

¿ que hora será dentro de 23 horas ?  Respuesta:  h(23) = ........

¿ que hora será dentro de 5721 horas ? Esto es, queremos saber  h(5721)= ???

Porque en ningún lado se decía que función sólo se iba a usar en 24 horas, o 48 horas. ¿Porque no pueden ser 5721 horas?  Vámos, intenta hacerlo !!!

En resumen,  ¿ cuál puede ser entonces una buena definición de función periódica ?

Recordemos que la función h(x) es periódica porque en t=0, 24, 48, ...... tiene el mismo valor.

Entonces h es periódica, porque existe un número real p=48 tal que verifica que h(t)=h(t+48) para cualquier número t.

h(7)=h(7+48)=h(55)  Esto está diciendo que "la hora" dentro de 7 horas será la misma que dentro de 55 horas.

Pero ya habrás notado que 48 no es el menor número que tiene esa propiedad. Hablando de horas, el menor número que tiene esa propiedad es el 24. Recuerda que estamos hablando de la hora en formato de 0-24 y no de 0-12.


Definición: Una función f es periódica, si existe un número real p tal que verifica  .    Llamaremos período al mínimo p.


p tiene que ser el mínimo, porque si no lo definimos asi, si f es periódica de período p, entonces f tambien sería periódica de período 2p, 3p, 4p, .....y tendríamos infinitas definiciones de período.

Propiedad: La representación gráfica de las funciones periódicas es una curva que se repite en cada tramo de longitud p.

periodica

 

Las funciones seno, coseno y tangente , cuyas imágenes anotaremos sen(x), cos(x) y tg(x) , son ejemplos de funciones periódicas.

Pero mucho cuidado, que no todas las funciones periódicas tienen que ser sinusoidales.  Ya vimos ejemplos, como el de "la hora", que hay muchísimas funciones periódicas, en realidad, infinitas, que no tienen nada de seno ni de coseno.

Pero aunque no todas las funciones periódicas tienen algo de seno o de coseno, lo cierto es que las funciones seno y coseno son unas de las mas importantes en lo que respecta a funciones periódicas.

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Montevideo - Uruguay - actualizado al 11 de febrero del 2009

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