TEMA: Puntos y líneas notables en el triángulo: Baricentro
FICHA: a) Propiedades métricas.
b) Demostración que las 3 medianas concurren.

Conocimientos previos:

Cómo en cualquier rama de la Matemática, o más general, en cualquier rama del conocimiento, para demostrar alguna propiedad es necesario tener conocimientos previos.
Lo que hoy vamos a tener que recordar son 2 cosas:
1) Propiedades de la PARALELA MEDIA
2) Propiedades de los paralelogramos.

Ayuda – Memoria:
1) Si en un triángulo cualquiera ubicamos los puntos medios de dos lados cualquiera, el segmento que los une tiene 2 propiedades. Veamos una construcción que no demuestra nada, pero servirá para ayudarnos a recordar.

PARALELA MEDIA

¿Cuáles son las 2 propiedades que podemos ver acerca de la paralela media?

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Dichas propiedades se refieren a:
1) ¿Cómo son entre si las rectas AC y DE ?
2) ¿Qué relación hay entre las longitudes de los segmentos AC y DE?

(Basado en la contrucción que visteis, ¿cómo formalizarías una demostracion formal ?)

Ayuda – Memoria: Paralelogramos
2) - Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.
- Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo, alcanza con que tenga un par de lados paralelos y de la misma longitud.
-Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

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Ahora si, habiendo repasado, podemos, ahora, ir al tema de hoy: Baricentro

"Se le llama Baricentro al punto de intersección de las medianas de un triángulo."

Primera pregunta: ¿esta definición tiene sentido?
El problema es saber si las 3 medianas de un triángulo concurren.
Esto es, ¿las tres medianas se cortan en un punto?
Porque podría ocurrir que cuando trazamos las medianas, éstas no se corten.

Francisco hizo este trazado de las 3 medianas:
¿Estará bien hecho el trazado de Francisco?

En la clase de hoy vamos a demostrar que las tres medianas de cualquier triángulo concurren en un punto.
Entonces, tendrá sentido darle nombre a ese punto, y lo llamaremos Baricentro.
O sea que la construcción de Francisco no está bien hecha.

Primera parte de la demostración:

Comienzo: Dibuja un triángulo ABC.
(Puedes hacerlo en tu cuaderno o con algún software, por ejemplo, Geogebra).
Ubica el punto medio del segmento AB, el que llamaremos F.
Ubica también el punto medio del segmento BC, que llamaremos E, y el punto medio de AC, que llamaremos D.
La construcción tiene que haberte quedado parecida a esta:  
(Puedes mover los vértices del triángulo)

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Ahora vamos a trazar dos de las medianas del triángulo ABC.
Unimos, con un segmento de recta, los puntos F y C.
Tambien unimos los puntos A y E.
Ya hemos trazado 2 medianas. Se cortan en un punto que llamaremos G. Lo pintamos de rojo.
La construcción tiene que haberte quedado parecida a esta.

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Y ahora vamos a ubicar el punto medio del segmento GC, el que llamaremos K;
al punto medio del segmento AG lo llamaremos L.

Ahora consideremos el triángulo ABC:
FE es la paralela media del ABC.
Entonces, por las propiedades que ya repasamos,

(1) FE es paralela a AC
(2) la longitud de FE es la mitad que la longitud de AC

Análogamente, del mismo modo, podemos hacer un razonamiento semejante, consideremos el triángulo AGC:
LK es la paralela media del AGC.
Entonces, por las propiedades que ya repasamos,
(3) LK es paralela a AC
(4) la longitud de LK es la mitad que la longitud de AC

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Mirando ahora las propiedades (1) y (3) vemos, por la propiedad transitiva del paralelismo, que FE y LK son paralelas.
Ahora, viendo las propiedades (2) y (4) notamos que las longitudes de FE y de LK son iguales.

Si FE y LK son paralelas y tienen la misma longitud, entonces FEKL es un paralelogramo.
Y como ya lo vimos hoy, sus diagonales se cortan en su punto medio, el que llamamos G.

Entonces, como G es el punto medio de LE, resulta que GE y LG miden lo mismo.
Ademas, desde un principio, por ser L punto medio de AG, son AL y LG iguales.
Entonces, por la propiedad transitiva de la igualdad, las longitudes de AL, LG y GE son iguales.

Dicho de otra forma, la distancia GE es la tercera parte que la distancia AE.

 

Segunda parte de la demostración:

Podríamos repetir todo el dibujo, pero eligiendo otras medianas.
Por ejemplo, hagamos de nuevo el dibujo, uniendo BD y uniendo AE.
Estas medianas se cortan en un punto J. Lo pintamos de verde.

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Y del mismo modo, tomando como M y N los puntos medios de BJ y de AJ, llegaríamos a que MNDE es un paralelogramo, con lo cual J es su punto medio.
Y otra vez llegaríamos a que JE es la tercera parte de AE.

Tercera y última parte de la demostración:

Si GE es la tercera parte de la distancia AE, y además
JE es la tercera parte de la distancia AE, ¿qué conclusión podemos deducir sobre los puntos J y G?

Si. Son el mismo punto.

Conclusión: Las tres medianas se cortan en un sólo punto, y además este punto tiene la propiedad de dividir a la mediana en su tercera parte.

Vemos ahora las dos construcciones juntas.

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Es el mismo triángulo, el cual se a trasladodo con el vector u para ver las dos construcciones por separado.

Para verlo todo junto, disminuir la longitud del vector u hasta que valga cero. Esto es, llevar el punto I hasta el H.


Prof. Saúl Tenenbaum, Creación realizada con GeoGebra   Montevideo, Uruguay.