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Funciones cuadráticas

Un ejercicio resuelto

 

 

 

Humberto ha enviado el siguiente ejercicio:
Una recicladora de aluminio tiene ingresos mensuales de acuerdo a la siguiente función:   I (X)= -15 x²+ 200x + 450000
En donde I(x)son los ingresos en función de las toneladas de aluminio reciclado. Determine los ingresos máximos que obtendrá la empresa durante el mes.

Resolución: la fórmula que da el ejercicio son los ingresos mensuales, y se pregunta los ingresos máximos durante el mes.

Entonces tenemos que hallar el máximo de esta función. Como ya lo vimos, en una función cuadrática, el máximo se encuentra en el valor de x dado por la fórmula x= -b/2a

Hay que recordar que una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax²+bx+c.

En nuestro caso, entonces, el de la función ingreso, a = -15,   b = 200,   c = 450.000

Entonces x=-b/2a   x=-200/2.(-15)   Entonces x=-200/(-30)   x = 6.66 aproximadamente. Es un número periódico.

Es un màximo porque esta función cuadrática tiene concavidad negativa. Ocurre en el punto 6.6666.

Y para saber cuánto vale el máximo, lo buscamos en la función ingresos:

I (X)= -15 x²+ 200x + 450000

I (6.66)= -15.(6.66)²+ 200.(6.66) + 450000

I (6.66)= -665.34+ 1332 + 450000

I (6.66)= 450666

Claro, en este ejercicio, el número 450000 es muy grande y no deja "ver" bien la solución.

Pongamos otro ejemplo:

Si la función fuera P (X)= -15 x²+ 200x + 450, el máximo igual sería 6.66, pero ahora el máximo sería:

P (6.66)= -15.(6.66)²+ 200.(6.66) + 450

P (6.66)= -665.34+ 1332 + 450

P (6.66)= 1116.

Para terminar, un gráfico de la función P(x) puede aclarar el tema.

 

Se agradece a Humberto por este ejercicio.

  


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Montevideo - Uruguay - actualizado al 14 de diciembre de 2010

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