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Funciones cuadráticas

 

 

 

Si hay un tema que podemos llamar "muy importante" en todos los cursos de matemática, es este.

DEFINICIÓN: Llamaremos función cuadrática a las funciones polinómicas de segundo grado, de dominio real y codominio real.

      y= f(x) = ax²+bx+c  con a distinto0.

Tal como lo vimos en el tema funciones y en función lineal, si no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos, que estamos trabajando con todos los números reales.

En lenguaje matemático, nuestro dominio es el conjunto de los números reales

Ejemplos de funciones cuadráticas:  

A(x) = 3x²+5x-8      P(x) = -2x²-7x+1     C(x) = x²-1       D(x) =  -x²          miles de ejemplos

Gráfica:

Cada punto tiene dos componentes, (x,y).  A la x la llamamos abscisa;  a la y la llamamos ordenada. ¿Cómo  se ubica un punto en un par de ejes perpendiculares (tambien llamados ortogonales) ?

A cada valor de los elementos del dominio, llamados x, le corresponde un único valor en el codominio, y.  La pareja (x,y) es el punto que colocamos en el gráfico. Los valores de y=f(x) los obtenemos como resultado de hacer las operaciones en la función cuadrática.

Por ejemplo,si nuestra función cuadrática es A(x) = 3x²+5x-8, entonces cual es el correspondiente del -4 ?   Al  -4  le corresponde  A(-4)

                                                           A(-4) = 3(-4)²+5(-4)    -8

                                                           A(-4) = 3(16)    -20       -8

                                                           A(-4) =   48       -20       -8  =   20

Entonces, en resumen, al -4 le corresponde el 20.  El punto es el  (-4,20).

Para hacer la gráfica, podemos empezar haciendo una tabla de valores y vamos colocando los puntos obtenidos en el gráfico. Ahora lo veremos un poco más abajo.

Este será nuestro primer método para hacer la representación gráfica. La forma obtenida se llama Parábola.

La representación gráfica de funciones polinómicas de segundo grado son parábolas.

Es importante revisar las operaciones, las cuentas. Hay que tener cuidado con los paréntesis.

Por supuesto que sólo podemos representar en el gráfico unos pocos puntos. Aunque hagamos 975  puntos, igual serán unos pocos puntos, considerando los infinitos puntos que tiene la parábola, función de dominio real y codominio real.

Los números reales son infinitos. Entonces siempre podemos representar sólo unos pocos puntos.

Podemos imaginarnos como quedaría la forma completa. Basta con intentar completar esos pocos puntos que hicimos, con una linea continua. Házlo en tu cuaderno.

Ahora que ya "hicimos" unas cuantas gráficas de funciones cuadráticas, podemos intentar responder algunas preguntas; esto es, hagamos algunas actividades.   También puedes volver atras para ayudarte a responderlas. Y también puedes ir a algunos libros para ver las respuestas.    

Para empezar, ¿cómo podrías definir la Concavidad ?   Mira las gráficas siguientes.

En las funciones cuadráticas podemos distinguir entre las que tienen concavidad positiva y las que tienen concavidad negativa. En ambas encontramos un punto extremo, llamado vértice, que puede ser el máximo o el mínimo de la función. Además estas funciones pueden tener, o no, raices. Veamos los diferentes casos con ejemplos.

Actividad 1) Lo primero que se puede observar al ver las diferentes gráficas de las funciones cuadráticas es que hay dos grandes clases, segun que su concavidad sea + o .

¿Esto de que depende ? Si prestas atención, podrás ver que hay una relación entre la concavidad  y el signo del coeficiente principal, a, que es el de mayor grado.  

y=f(x)= ax²+bx+c  

Buscamos entonces la relación entre la concavidad y el signo de "a". ¿Cuál es esa relación?  

Actividad 2) Otro aspecto interesante de las funciones cuadráticas es que todas, repito, todas, tienen un sólo extremo. Ese extremo será un máximo si el signo de "a" es     y es un mínimo si el signo de "a"  es 

Trata también de buscar la relación que hay entre la absisa del extremo y los valores de a, b y cPara hacerlo, puedes utilizar las graficas de las parábolas que ya usamos antes. Es este un trabajo de investigación individual.   Intenta  hacerlo  antes de ver la respuesta.

Vamos a calcular las coordenadas de los vértices de varias parábolas.

 

En resumen:

Signo de a
Concavidad
El extremo es un ....
La abscisa del extremo es:
+
+
mínimo
-b/2a
máximo
-b/2a

Un ejercicio resuelto aquí

Y ahora, para terminar, tenemos que ver como hacemos para calcular las raices de una función cuadrática. Pero, ¿que son las raices ?

Definición : Las raices son los valores de los elementos del dominio que hacen que la imagen de la función valga cero. Tratemos de explicar esto.  Sea  f(x)= x²-6x+5

Investiguemos: ¿ el número 7 será raíz?

f(7)=(7)²-6.(7)+5 , entonces f(7) = 49-42+5 , luego f(7)=12,  no es cero,   7 NO es raíz.

¿ el número 4 será raíz?

f(4)=(4)²-6.(4)+5 , entonces f(4) = 16-24+5 , luego f(4)=-3,  no es cero, 4  NO es raíz.

¿ el número 5 será raíz?

f(5)=(5)²-6.(5)+5 , entonces f(4) = 25-30+5 , luego f(5)= 0,  es cero,  5  SI es raíz.

¿Tendrá otra raíz?  ¿ investiguemos con el número 1 ?

f(1)=(1)²-6.(1)+5 , entonces f(1) = 1-6+5 , luego f(1)=0,  cero,   SI, 1 también es raíz.

Otra definiciónµ es raíz de f(x)  si y sólo si   f(µ) = 0   

Por ejemplo,  -15 es raíz de f(x) si y sólo si  f(-15) = 0   

¿Pero cómo haremos para calcular las raices de una función cuadrática cualquiera?  ¿Tendremos que ir tanteando, probando ?   La verdad, no.

Para resolver ecuaciones de segundo hay varios métodos. Uno de ellos, un método geométrico fue inventado por Al-Kwrismi hace apenas 1200 años.

Existe otro método, una fórmula descubierta por Bháskara, hace.....10 años? ......100 años? ........1000 años ?  Si te interesa saber quién fué Bháskara, su nacionalidad, y cómo se demuestra su fórmula, puedes ir a enlaces.

Lo que ha descubierto, o mejor dicho, inventado, Bháskara, es un método para hallar las raices de una función cuadrática, si es que tiene raices.

DISCRIMINANTE: En la fórmula de Bháskara aparece la raíz cuadrada del término b²-4.a.c  que lo usaremos mucho.   A este término se le llama discriminante, porque no ayuda a discriminar si la función cuadrática tendrá o no raices reales. Vamos ahora a ver como se hace esto.   ¿Cuándo existe una raíz cuadrada?  ¿Siempre se puede hacer esta operación? Dicho de otra forma, ¿a cuáles números se les puede calcular la raíz cuadrada?

Como en la fórmula de Bháskara aparece una raíz cuadrada, ésta se podrá hacer siempre que el número al que se la apliquemos sea positivo, o cero.

Veamos ejemplos:

raiz cuadrada

Entonces, en resumen, ¿cuándo se puede hacer una raíz cuadrada?

existe

DISCRIMINANTE:   ¿cómo se usa?  ¿para que sirve?

delta


Signo de una función cuadrática

Y ahora que ya sabemos calcular raices, podemos estudiar el signo de una función cuadrática. Hemos visto que las gráficas de las funciones cuadráticas pueden o no tener raices, ademas de que su concavidad puede ser positiva o negativa. Tenemos entonces 6 casos diferentes. ¿Por que 6? ......ya lo veremos.....o mejor dicho, ya lo vimos!!!!

Hagamos un repasito:

Crecimiento de una función cuadrática

¿Cómo será el crecimiento de una función cuadrática? ¿De que depende? Inspeccionanado el gráfico de las funciones cuadráticas, ya vimos que hay una zona de crecimiento y otra de decrecimiento. Y es justamente el vértice el que separa ambas zonas.

Trata de completar este cuadro, mirando la forma general de las parábolas y pensando un poco......

 

Preguntas.

1) ¿Las funciones polinómicas de segundo grado, o mas sencillamente, las funciones cuadráticas, siempre tienen raices?    

2) ¿Cómo calcular las coordenadas del vértice de la parábola?

3) ¿Cuando la función cuadrática tiene raices, qué relación hay entre la absica del vértice y la absisa de las raices? 

4) ¿Cómo se indica el crecimiento de una función cuadrática?   

5) ¿Cómo se indica el signo de una función cuadrática?      

6) Bháskara, ¿Quién fué y que inventó?

7) ¿Qué es el discriminante? ¿Que aplicaciones tiene?   

8) ¿En que se basa el método de Al-Kwrismi para resolver ecuaciones de segundo grado?  ¿Cómo funciona? 

Las respuestas ya fueron dadas en esta misma página.  Si no las sabes, quizás la pasaste por alto, o no las viste.  O tal vez no lo entendiste la   primera vez que lo viste.    Sería bueno que lo mires de nuevo.   Búscalas.


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Montevideo - Uruguay - actualizado al 30 de abril de 2012

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