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Asíntotas

 

 

Definición: Decimos que una recta es asíntota al gráfico de una función si la distancia a dicha recta desde un punto P del gráfico de la función se hace muy pequeña, tan chica como se quiera, siempre que el punto P se aleje infinitamente.  Este punto P se puede alejar en forma horizontal, vertical u oblicua.

Veamos como aplicamos esto.

asintotas

Aqui vemos la representación gráfica de una función f, que nos va a ayudar a entender las 3 clases de asíntotas que puede haber.

En la zona izquierda de la gráfica, vemos que la distancia de f a la recta r va disminuyendo, a medida que nos alejamos hacia la izquierda: d1, d2, d3.

En la zona del centro de la gráfica, vemos que la distancia de f a la recta t va disminuyendo, a medida que nos alejamos hacia abajo: d4, d5, d6.

En la zona derecha de la gráfica, vemos que la distancia de f a la recta s va disminuyendo, a medida que nos alejamos hacia la arriba y a la derecha: d7, d8, d9.

Entonces a medida que nos alejamos, en el sentido de las x o de las y, esto es, si aumentan las absicas o las ordenadas, en valor absoluto, la distancia entre la funcion y la asintota disminuye tanto como se quiera; diremos que se acerca a cero.


Ahora, veamos específicamente las funciones racionales:

Las funciones racionales solamente tienen asíntotas horizontales y verticales.

asintotas

En realidad, los términos "horizontal" y "vertical" se usan porque son una forma rápida de entender la forma de las rectas en el gráfico. Estrictamente hablando, la única persona que puede dibujar asíntotas horizontales y verticales es el Profesor.

Y esto no es porque tenga mas autoridad.......simplemente es porque su cuaderno, digo, su pizarrón, es vertical; está sobre la pared, en un plano vertical !!!   Los cuadernos de los alumnos están en un plano horizontal y entonces todas las rectas que dibujen son horizontales.  De cualquier forma se sigue "hablando" de rectas horizontales y verticales, en un principio.

Ahora que ya sabemos más, quizás ya sea hora de empezar a hablar de rectas paralelas al eje OX y de rectas paralelas al eje OY.


Otra forma de calcular las asíntotas: ¿cuántos puntos de corte tienen la representación grafica de una función racional con sus asintotas?

Respuesta: 

Entonces tenemos aquí una propiedad que nos servirá para calcular asíntotas.

Sea la función  jota  que usaremos como ejemplo.

1) Asíntota vertical: son rectas de la forma x=2,  x=3,  x= -1/2.  ¿Cuál es la única recta de la forma x=k que no va a poder cortar a la función racional j(x) ? Dicho de otra forma, ¿para cuál valor de x, la función no va a existir?  ¿ayuda? (ver: dominio)

2) Asíntota horizontal: son rectas de la forma y=2,  y=3,  y= -1/2.  ¿Cuál es la única recta de la forma y=k que no va a poder cortar a la función racional j(x) ?   Puedes intentar resolver la ecuación j(x) = k , pero en este caso lo que te interesa es que dicha ecuación NO tenga solución !!!!    

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Montevideo - Uruguay - actualizado al 11 de febrero del 2009

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